1. « La forme générale de la proposition est : ce qui a lieu est ainsi et ainsi. » (4.5-4.53)
Dernière phrase de 4.5 :
« La forme générale de la proposition est : ce qui a lieu est ainsi et ainsi » (Granger)
« La forme générale de la proposition est : il en va ainsi et ainsi » (Plaud / Chauviré)
« La forme la plus générale de la proposition », c’est « la description des propositions d’une langue symbolique quelconque » ou « une description des propositions de n’importe quel langage de signes » (Plaud / Chauviré).
« Il en va ainsi et ainsi »
Un langage est (essentiellement) ce qui énonce des faits en les décrivant, en décrivant les agencements en quoi ils consistent (articulation d’états de choses). Dire quelque chose, de la manière la plus générale / universelle, c’est énoncer « ce qui a lieu est ainsi et ainsi ». Toute proposition d’un langage consiste en un agencement de symboles (configuration de noms) reflétant, dépeignant (cf. théorie de l’image) un agencement factuel (configuration de choses).
Note : le 2nd Wittgenstein critiquera cette réduction de la proposition à la seule fonction descriptive (il y a bien d’autres « jeux de langage »)
Cf. plus loin :
5.471 – « La forme générale de la proposition est l’essence de la proposition. »
5.471 1 – « Poser [fournir] l’essence de la proposition, c’est poser [fournir] l’essence de toute description, par conséquent l’essence du monde. »
« ainsi et ainsi » (et non simplement « ainsi ») laisse entendre qu’il s’agit là des propositions complexes, combinant des propositions élémentaires (et non des propositions élémentaires elles-mêmes), comme le montrera les prop. suivantes.
Bien sûr (4.5, §2), cette forme générale ne retient que ce qui est essentiel au sens de toute proposition, laissant de côté ce qu’il y a de contingent dans les propositions réelles des langues (cf. 3.31, 3.34, 3.341).
Il y a une forme générale (universelle) de la proposition : ceci est prouvé par le fait que toute proposition aurait pu être prévue / construite a priori. Autrement dit, une nouvelle proposition, jamais formée jusque-là, a toujours été déjà possible, et ne contrevient jamais à cette forme générale / universelle.
Le langage nous permet toujours de former de nouvelles propositions, justement parce qu’il y a une forme universelle de la proposition.
W. avait déjà évoqué cette créativité du langage : cf. 4.027 & 1e phrase de 4.03
Cf. aussi 6.1261 : en logique « il n’y a pas de surprise ».
4.51 et 4.52
Toutes les propositions (complexes) sont issues des combinaisons / connexions possibles entre les propositions élémentaires. Ainsi, si l’on conçoit l’ensemble de toutes les propositions élémentaires, on se donne également toutes les propositions complexes possibles, propositions qui découlent de toutes les possibilités de combinaison des premières.
4.52 : « naturellement aussi de ce que cet ensemble en est la totalité »
« Les propositions sont tout ce qui découle de l’ensemble des propositions élémentaires » et du fait qu’il n’y a pas d’autres propositions élémentaires en dehors de celles-ci.
Carnets, 16/4/16 : « Toute proposition simple se laisse réduire à la forme φx »
On pourrait dire que la forme générale de la proposition complexe est quelque chose comme : ∃x(φx ∧ ψx) [il existe un x tel que x est ainsi (φ) et x est ainsi (ψ)]
Cf. déjà 4.26 – « La donnée de toutes les propositions élémentaires vraies décrit complètement le monde. » (le monde réel / effectif, au niveau des états de choses). Ici, plutôt le monde possible (puisqu’il n’est pas précisé qu’il s’agisse seulement des propositions vraies).
4.53 : la forme générale est une variable, du genre de ∃x(φx ∧ ψx), mais pour n propositions élémentaires combinées par n connecteurs, de manière réitérée.
Cette variable sera figurée à la prop. 6 : « La forme générale de la fonction de vérité est : (…) . C’est la forme générale de la proposition. »
De même la forme générale du nombre entier est […] (6.03)
Cf. aussi 5.2522 où cette notation est présentée et expliquée : « Le terme général d’une série de formes : a, O’a,O’O’a… je l’écris donc ainsi : [a,x,O’x] ». Cette expression entre crochets est une variable. Le premier terme est le début de la série de formes, le second est la forme d’un terme arbitraire de la série, et le troisième la forme du terme de la série qui suit immédiatement x. »
L’idée est de figurer l’application successive / récurrente d’une opération sur un ensemble d’éléments de départ.
Granger : « Par cette notation assez énigmatique, Wittgenstein veut essentiellement exprimer la réductibilité de toute formule du calcul des propositions à une formule où n’interviendrait que la liaison binaire de négation simultanée. » (125, n. 4)
Marion : « « Cette forme générale de la proposition se lit donc comme suit : à partir de la base P̅, qui est l’ensemble des propositions élémentaires, on obtient par applications successives de l’opération N toutes les propositions complexes. » (122)
La combinaison par le connecteur « et » des propositions élémentaires p et q engendre par ex. la prop. r ; celle-ci peut être à son tour combinée à s et engendre t, etc.
Tous les connecteurs logiques pouvant être obtenus par des combinaisons de la barre de Sheffer (négation simultanée ou conjointe : pas les deux à la fois, ni l’un ni l’autre), l’opération réitérée de cette barre peut suffire à symboliser (dans 6 : N) toutes les opérations.
2. « La proposition est une fonction de vérité des propositions élémentaires. » : « théorie » de l’inférence et de la probabilité (5 – 5.156)
5-5.01 : la proposition complexe opère comme une fonction de vérité sur les propositions élémentaires qu’elle combine. Les propositions élémentaires sont les « arguments de vérité » de la proposition complexe.
Par distinction, la vérité d’une proposition élémentaire dépend directement et seulement d’elle-même (elle affirme l’existence de faits atomiques ou « états de choses », et non l’existence de faits complexes ou situations – faits proprement dits, agencements d’états de choses : cf. section 4.2 et prop. 4.3).
Supposons les 2 propositions élémentaires p et q.
Supposons r = p ∧ q
On peut dire que r opère comme une fonction de vérité de p et q : la vérité de r est « fonction » de la vérité de p et q (cf. tables de vérité).
En revanche, p et q étant par définition des propositions élémentaires (premières, non composées) , la vérité de p et celle de q dépend uniquement de p et de q.
« indice » : un signe qui indique quelque chose, qui se réfère à quelque chose.
Critique de Frege.
5.1 – 5.101 : « séries » de fonctions de vérité
Pour 2 prop. données, il est possible d’ordonner les possibilités de vérité de toutes leurs combinaisons (16) selon un ordre qui va de la tautologie à la contradiction. (déjà annoncé en 4.45 et sqq.)
Cet ordre est le fondement de la théorie des probabilités.
cf. schéma donné en 5.101 : on peut y distinguer 5 degrés de probabilité (1, ¾, ½, ¼, 0).
« fondements de vérité » : le nombre de cas qui vérifient une proposition complexe.
Par ex. l’implication p ⊃ q (si p alors q) a 3 fondements de vérité (p . q, non p . q, non p et non q).
En revanche l’équivalence p ≡ q (si p alors q et si q alors p) n’en a que 2 (p . q, non p et non q).
cf. table de vérité.
5.11 – 5.134 : théorie de l’inférence
Les fondements de vérité que peuvent avoir ou ne pas avoir en commun plusieurs propositions permettent de comprendre les rapports d’inférence / conséquence entre propositions.
Inférence : déduction d’une proposition à partir d’une ou plusieurs autres propositions.
Définition de la déduction :
Si les fondements de vérité communs à 2 prop. sont aussi les fondements de vérité d’une 3e, alors on peut dire que la 3e prop. suit des 2 premières (de leur conjonction).
Par ex. supposons :
P(1) : a
P(2) : a → b
P(3) : b
Conditions de vérité de P(1) : a
Conditions de vérité de P(2) : a & b ; non a & b ; non a & non b
Condition de vérité de b : b
Intersection des conditions de vérité de P(1) et P(2) : a & b
On voit alors que l’intersection des conditions de vérité de P(1) et P(2) – a & b – est aussi condition (parmi d’autres) de b.
Cette communauté de conditions de vérité montre que P(3) est une conséquence de P(1) et P(2) : si a et si a → b, alors b.
Par ex., supposons 3 implications :
I(1) : p → q
I(2) : q → r
I(3) : p → r
On peut montrer – et sans évoquer une quelconque loi de transitivité – que I(3) suit de la conjonction de I(1) et I(2) : en effet, les fondements de vérité communs à I(1) et I(2) pris ensemble – c’est-à-dire les conditions qui rendent vraies à la fois I(1) et I(2), les condition qu’elles ont en commun – sont aussi des fondements de vérité de I(3).
Cependant, I(3) peut être vraie sans que soit vraie la conjonction de I(1) et I(2) – autrement dit il n’y a pas équivalence, mais seulement implication / conséquence :
- lorsque I(1) est vraie mais que I(2) est fausse, car q est vrai mais p et r sont faux
- lorsque I(2) est vraie mais que I(1) est fausse, car p et r sont vrais mais q faux.
Pour le dire encore autrement, la vérité de la conjonction de I(1) et I(2) entraine toujours la vérité de I(3), mais la fausseté de la conjonction de I(1) et I(2) n’entraine pas nécessairement la fausseté de I(3).
Par ex. :
- s’il pleut, alors le sol est mouillé, si le sol est mouillé, il est glissant : donc s’il pleut le sol est glissant
- mais le sol peut être glissant sans qu’il pleuve (huile)
Pour un fait, être la conséquence (logique) de deux autres faits, c’est partager avec eux les mêmes fondements de vérité.
5.12 : cas particulier de conséquence (inverse du précédent)
Le cas où tous les fondements de vérité de p(2) sont aussi des fondements de p(1).
5.121-5122 : autrement dit, p(2) suit de p(1) quand les fondements de vérité de p(2) sont « contenus » dans ceux de p(1). Et cela revient à dire que le « sens » de p(2) est « contenu » dans le sens de p(1) : dire p(1) revient à dire aussi p(2) (bien que la réciproque ne oit pas nécessairement vrai, sinon il y aurait équivalence).
D’où la remarque sur Dieu (5.123) :
Dieu ne peut créer un monde dans lequel p est vrai sans créer du même coup un monde dans lequel les conséquences de p sont également vraies. De même qu’il ne peut créer un monde dans lequel p est vraie sans créer les objets de p (les choses correspondant aux noms combinés par p).
La logique du sens s’impose donc à la pensée, au monde et à son éventuel créateur.
Cf. déjà 3.031 :On a dit que Dieu pouvait tout créer, sauf seulement ce qui contredirait aux lois de la logique. – En effet, nous ne pourrions pas dire à quoi ressemblerait un monde « illogique ». »
Autrement dit, ces rapports de conséquence entre propositions sont complètement a priori : ce que dira plus explicitement à partir de la prop. 5.13 en soulignant qu’ils se voient « à la structure de ces propositions », et qu’en cela « toute inférence a lieu a priori » (5.134 : « Toute conséquence est conséquence a priori. », Granger).
5.124 – 5.1241 : Indépendamment même de Dieu, toute proposition affirme ainsi et d’elle-même toute proposition qui s’ensuit (« automatisme » de l’inférence).
Par ex. la prop. « p . q » affirme elle-même et en même temps la prop. p et la prop. q à titre de conséquences, bien qu’elle ne soit pas la seule à affirmer p ni la seule à affirmer q (par ex. « p . r » affirme également p, de même que « q . s » affirme également q, ou encore « p . q . r », etc.).
Inversement, il existe aussi des rapports de négation / opposition / contradiction entre prop. : deux propositions sont opposées l’une à l’autre s’il n’existe aucune prop. qui les affirme toute deux ; par ex. p et non-p ne peuvent être affirmées conjointement par une autre prop., ne peuvent être les conséquences d’aucune autre prop.
5.13 : les rapports de conséquences se voient / se montrent à la structure des propositions (donc de manière strictement a priori).
Ces relations de structure ou de forme sont parfois masquées par le mode présentation (5.1311), mais apparaissent si on les symbolise d’une autre manière :
- la négation peut être remplacée par le symbole de négation conjointe (barre oblique, Sheffler) : non P réécrit en P | P (ni P, ni P)
- la disjonction P v Q peut être réécrite par : P | Q . | . P | Q (ni (ni P ni Q), ni (ni P ni Q))
- Q peut être réécrit en (Q | Q . | . Q | Q)
- Alors l’interdépendance structurelle est plus évidente : de (P | Q . | . P | Q) et (P | P), on voit plus facilement que (Q | Q . | . Q | Q)
De même « (x). fx » montre immédiatement que l’on peut en déduire fa.
5.132 : dire que les rapports de conséquence se montrent seulement, et de manière immédiate, par la structure / forme des propositions en jeu, c’est s’opposer à l’idée qu’il y ait des « lois de la déduction » ou même une « théorie de l’inférence » qu’il faille énoncer, en plus et à côté de l’analyse des propositions elles-mêmes, afin de « justifier » les déductions.
Leitmotiv wittgensteinien du refus de toute « théorie logique » et de tout méta-langage (et opposition à Russell) : superflus et vides de sens.
Marion : « Pour Wittgenstein, l’inférence doit se faire littéralement sous nos yeux – la relation interne entre les propositions se montre – et il n’y a pas besoin de faire appel pour cela à un énoncé de la règle que nous aurions à suivre mentalement à la trace. » (128-129).
5.134 : seules les prop. complexes peuvent être déduites (soit de prop. élémentaires, soit de prop. complexes), au contraire les prop. élémentaires ne peuvent être déduites les unes des autres (elles sont mutuellement indépendantes).
Cela revient à dire que les conditions de vérité d’une prop. élémentaire ne sont jamais contenues dans celles d’autres prop.
5.135 – 5.1362 : lien (nexus) causal et libre-arbitre
Wittgenstein tire ici les conséquences ontologiques / métaphysiques et épistémologiques de son atomisme logique : s’il est impossible de déduire les prop. élémentaires les unes des autres, cela signifie aussi qu’il est impossible de déduire un fait atomique d’un autre, les unes et les autres étant mutuellement indépendants.
Il n’y a de nécessité que logique : il n’y a pas de nécessité ontologique, nécessité des faits ; on ne peut pas déduire a priori un fait d’un autre fait, comme cela est possible entre propositions.
Proximité avec le scepticisme de Hume qui considérait aussi la croyance en la causalité comme une sorte de superstition (lié à l’habitude).
Comme Hume, Wittgenstein ne nie pas qu’il y ait des rapports causaux ni des régularités causales, mais seulement que ces rapports et régularités soient a priori (nécessaires).
Hume : « le contraire d’un fait quelconque est toujours possible… » (lire la note 161 n.1 dans édition Plaud / Chauviré).
Partant, il nous est impossible de déduire le futur (5.1361).
« La croyance en un lien causal est un préjugé. » / « La croyance dans le nexus causal est superstition. » (Plaud).
Le libre-arbitre – ou la croyance dans le libre-arbitre – est le résultat de cette absence de nécessité ontologique, et de l’ignorance du futur qui l’accompagne : Wittgenstein s’approche ici de Spinoza ou Schopenhauer.
5.1363 – 5.143 : conséquence, identité, tautologie et contradiction
5.163 : l’évidence (même logique) d’une proposition n’entraine pas sa vérité (factuelle : la réalité de ce qu’elle énonce), ni ne justifie épistémologiquement la croyance en sa vérité (factuelle).
La prop. 5.14 énonce le cas « standard » d’une relation de conséquence entre propositions : il y a davantage dans les prémisses d’une inférence que dans sa conclusion.
Par ex. dans le syllogisme « Tous les hommes sont mortels (A), Socrate est un homme (B), donc Socrate est mortel (C) », C dit moins que A+B et moins que A.
5.121 et 5.122 avaient déjà énoncé que si p est la conséquence de q, cela signifie que les fondements de vérité de p sont contenus (mais pas eux seuls…), sont une partie de ceux de q.
Les prop. 5.141, 5.142 et 5.143 énoncent des cas particuliers.
5.141 : équivalence ou identité de 2 propositions (implication réciproque)
5.142 : la tautologie est inconditionnellement vraie (ce qui signifie qu’elle ne laisse aucune marge de manœuvre à la réalité pour l’infirmer)
5.143 : la contradiction est inconditionnellement fausse (ce qui signifie qu’elle ne laisse aucune marge de manœuvre à la réalité pour la confirmer)
Contradiction et tautologie sont les limites des propositions : elles ne disent rien (du monde).
Ceci se voit déjà à même la série ordonnée des conditions de vérités de 2 prop.
cf. déjà 4.461 : « La proposition montre ce qu’elle dit, la tautologie et la contradiction montrent qu’elles ne disent rien.
La tautologie n’a pas de conditions de vérité, car elle est inconditionnellement vraie; et la contradiction n’est vraie sous aucune condition. »
Granger : « tautologie et contradiction sont toutes deux vides de sens, et toutes deux marquent les limites de la pensée pleine. Dans la première, la pensée s’évanouit, pour ainsi dire, vers l’intérieur ; dans la seconde, vers l’extérieur. Dans l’un et l’autre cas, le jeu perd son intérêt, parce que, pour ainsi parler, ou bien l’on gagne toujours, ou bien l’on ne gagne jamais. » (109)
5.15 – 5.156 : la probabilité
Calcul de la probabilité que r confère à s :
- Vr nombre des fondements de vérité de r (2)
- Vrs nombre des fondements de vérité de s qui sont en même temps fondements de vérité de r (1)
- Vrs / Vr = probabilité que r confère à s (½ = 0,5)
Si r est elle-même une conjonction (r = p.q), alors la probabilité tombe à ¼ = 0,25.
Granger : « On dira que p confirme ou entraîne q avec probabilité P, si le rapport du nombre des situations propositionnelles communes aux conditions de vérité de p et de q est égal à P. »
La mesure de la probabilité s’étend de 0 à 1.
Plusieurs cas particuliers :
- 2 prop. élémentaires, donc indépendantes, n’ayant aucun fondement de vérité commun, se confèrent mutuellement une probabilité de ½ (0,5). Par ex. cas du tirage aléatoire de boules blanches et noires en nombre égal dans une urne (cf. 5.154).
- conséquence nécessaire : si q implique p, q confère une probabilité = 1 à p. Cas de la certitude / nécessité : « cas limite de la probabilité » (5.152) ; cas de la tautologie.
- Impossibilité logique : si q implique nécessairement non-p, on pourrait dire que q confère une probabilité nulle (= 0) à p ; cas de la contradiction.
Mais la probabilité n’a vraiment de sens qu’entre propositions (dans un rapport de conséquence entre propositions), et non au niveau d’une proposition prise en elle-même, isolément : dans ce cas, il n’y a que 0 ou 1, car « un événement se produit ou ne se produit pas, il n’y a pas de milieu » (5.152)
5.154 : tirage dans l’urne (figure le cas d’événements indépendants les uns des autres)
Ce n’est qu’empiriquement que nous pouvons constater qu’il y a tendanciellement une égalité de tirage entre les blanches et les noires, à mesure des tirages successifs : ce n’est pas un « fait mathématique » ni logique, c’est un constat approximatif.
Mais cela correspond bien à la probabilité ½ que se confèrent des événements indépendants, tels qu’ils s’énoncent dans les propositions élémentaires.